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复变函数积分方法总结.doc

复变函数积分方法总结

2019-06-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《复变函数积分方法总结doc》,可适用于工程科技领域

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复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势同时也具有本来原函数的性质也会有多类型的可积函数类型也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:z=xiyisup=x,y分别称为z的实部和虚部记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=theta₁theta₁称为主值pi<theta₁lepiArg=argzkpi。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosthetay=rsintheta,故z=rcosthetairsintheta利用欧拉公式eitheta=costhetaisintheta。z=reitheta。定义法求积分:定义:设函数w=f(z)定义在区域D内C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线把曲线C任意分成n个弧段设分点为A=zzhellipzkzkhellipzn=B在每个弧段zkzk(k=,hellipn)上任取一点k并作和式Sn=(zkzk)=∆zk记∆zk=zkzk弧段zkzk的长度={∆Sk}(k=,hellip,n),当时不论对c的分发即k的取法如何Sn有唯一的极限则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为:=∆zk设C负方向(即B到A的积分记作)当C为闭曲线时f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题:计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。()解:当C为闭合曲线时=∵f(z)=Sn=(zkzk)=bathere=ba,即=ba()当C为闭曲线时=f(z)=z沿C连续则积分存在设k=zk,则sum=(zkzk)有可设k=zk则sum=(zkzk)因为Sn的极限存在且应与sum及sum极限相等。所以Sn=(sumsum)==bathere=ba定义衍生:参数法:f(z)=u(x,y)iv(x,y),z=xiy带入得:=vdyiudy再设z(t)=x(t)iy(t)(letle)=参数方程书写:z=z(zz)t(letle)z=zreitheta(lethetalepi)例题:积分路线是原点到i的直线段解:参数方程z=(i)t==(i)=i例题:沿曲线y=x计算解:参数方程或z=tit(letle)==(i)i=i定义衍生重要积分结果:z=zreitheta(lethetalepi)由参数法可得:=dtheta=dtheta=例题:例题:解:=解=pii柯西积分定理法:柯西古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析则对B内的任意一条封闭曲线有:=定理:当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关仅由积分路线的起点z与终点z来确定。闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D内解析C与C是D内两条正向简单闭曲线C在C的内部且以复合闭路=CC所围成的多连通区域G全含于D则有:==即=推论:=例题:C为包含和的正向简单曲线。解:被积函数奇点z=和z=在C内互不相交互不包含的正向曲线c和c。====piipii=pii原函数法(牛顿莱布尼茨公式):定理可知解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z与终点z有关即=这里的z和z积分的上下限。当下限z固定让上限z在B内变动则积分在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=所以有若f(z)在单连通区域B内解析则函数F(z)必为B内的解析函数且=f(z)根据定理和可得=F(z)F(z)例题:求解:函数zcosz在全平面内解析there=zsinz=isinicosz=isinicosi=i=e此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法但是要注意复变适合此方法的条件。柯西积分公式法:设B为以单连通区域z位B中一点如f(z)在B内解析则函数在z不解析所以在B内沿围绕z的闭曲线C的积分一般不为零。取z位中心以为半径的正向圆周=位积分曲线由于f(z)的连续性所以==piif(z)定理:若f(z)在区域D内解析C为D内任何一条正向简单闭曲线它的内部完全含于Dz为C内的任一点有:f(z)=例题:))解:=piisinz|z==解:==pii|z=i=解析函数的高阶导数:解析函数的导数仍是解析函数它的n阶导数为f(n)(z)=dz(n=,hellip)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z的任一条正向简单闭曲线而它的内部全含于D例题:C:=解:由高阶导数的柯西积分公式:原式=pii(ez)()|z==解析函数与调和函数:定义:()调和函数:如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数且满足拉普拉斯方程:=则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=uiv为解析函数则u和v都是调和函数反之不一定正确()共轭调和函数:u(xy)为区域内给定的调和函数我们把是uiv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭调和函数则u是v的共轭调和函数关系:任何在区域D内解析的函数它的实部和虚部都是D内的调和函数且虚部为实部的共轭调和函数。求解方法:()偏积分法:若已知实部u=u(x,y),利用CR方程先求得v的偏导数=两边对y积分得v=再由=又得=从而=dxCv=dxC同理可由v(x,y)求u(x,y)不定积分法:因为=UxiVx=UxiUy=VyiVX所以f(z)=cf(z)=c线积分法:若已知实部u=u(x,y),利用CR方程可得的dv=dxdy=dx故虚部为v=C该积分与路径无关可自选路径同理已知v(x,y)也可求u(x,y)例题:设u=xyxy为调和函数试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)iv(x,y)解:利用CR条件=xy=yx==所以满足拉普拉斯方程有==yx==xy所以v==xy=x=xy=y=cv(x,y)=xycf(z)=u(x,y)iv(x,y)=(i)iC留数求积分:留数定义:设z为函数f(z)的一个孤立奇点即f(z)在去心邻域、,我们把f(z)在z处的洛朗展开式中负一次幂项系数c称为f(z)在z处的留数记为Resf(z),z即Resf(z),z=c或者Resf(z),z=C为留数定理:设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点zzhellipzn,=pii其中zk表示函数的孤立奇点孤立奇点:定义:如果函数在z不解析但在z某个去心邻域内解析则称z为的孤立奇点。例如、都是以z=为孤立奇点函数以z=、z=为孤立奇点在孤立奇点z=z的去心邻域内函数可展开为洛朗级数=洛朗级数中负幂项是否存在若存在是有限项还是无限项这对f(z)在z处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z的类型:可去奇点:若函数f(z)在孤立奇点z的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项即对一切n有cn=则称z是f(z)的可去奇点因为没有负幂项即cn=,(n=,)故c=。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点一般对函数求积分一般为零=pii=。判断可去奇点方法:⑴函数在某个去心邻域内解析则z是的可去奇点的充要条件是存在极限=c其中c是一复常数⑵在⑴的假设下z是f(z)可去奇点的充要条件是:存在rle使得f(z)在r内有界极点:若函数f(z)在孤立奇点z的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项即有正整数mcm而当nm时cn=则称z是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是:f(z)=hellipcc(zz)nmhellipc(zz)nhellip这里cm于是在有f(z)=hellipcc(zz)nmhellipc(zz)nhellip=*一个在解析同时则z是f(z)的m级极点。判断定理:()f(z)在z的去心邻域z是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。()z是f(z)的m级极点的充要条件是=本性奇点:若函数f(z)在孤立奇点z的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项则称z是f(z)的本性奇点判断方法:孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限。函数在极点的留数:准则一:若z为一级极点则Resf(z),z=准则二:做z为m级极点则Resf(z),z={(zz)mf(z)}准则三:设f(z)=,P(z)以及Q(z)都在z解析如果P(z)Q(z)则z是f(z)的一级极点而且:Resf(z),z=无穷远处的留数:定义:扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点即f(z)在R内解析C为圆环绕原点z=的任一条正向简单闭曲线则积分值称为f(z)在z=处的留数记作Resf(z),=如果f(z),在R内的洛朗展开式为f(z),=则有Resf(z),=c如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为zzhellipzn则f(z)在各奇点的留数总和为零,即Resf(z),=Resf(z),=Resf(),例题:求下列Resf(z),的值()f(z)=()f(z)=解:()在扩充复平面上有奇点:而为f(z)的一级极点且Resf(z),===eResf(z),===∵Resf(z),Resf(z),Resf(z),=得thereResf(z),={Resf(z),Resf(z),}=()=sh()由公式Resf(z),=Resf(),而f()=以z=为可去奇点所以Resf(z),=Resf(),=用留数定理计算积分:形如d的定积分计算其中为cos。故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识欧拉公式令z=,dz=izd=idd=sin=()=cos则d==其中f(z)=然后又留数定理求的积分值为pii其中zk(k=,,hellipn)为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。形如的积分计算。其中R(x)为x的有理函数且分母的次数至少比分子的高二次R(x)在实轴上无孤立奇点。则=piiR(z),zk,zk为上半平面的所有奇点形如=pii其中k为上半平面的所有奇点总结:以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法还有许多细节性的问题没有一一列举。复变积分的算法对比实函数积分的计算方法有很多相似的地方较实函数积分要复杂些。复变的积分变换多是理解性的问题多做题目可以提高思维的多样性但容易造成思维定势。理解才是主要解题之道!

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