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布尔代数入门.doc

布尔代数入门

2019-06-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《布尔代数入门doc》,可适用于工程科技领域

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布尔代数入门布尔代数是计算机的基础。没有它就不会有计算机。布尔代数发展到今天已经非常抽象但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数以及为什么它促成了计算机的诞生。我依据的是《编码的奥妙》的第十章。这是一本好书强烈推荐。一、数理逻辑的起源世纪早期英国数学家乔治middot布尔(GeorgeBoole-)突发奇想:人的思想能不能用数学表达?此前数学只用于计算没有人意识到数学还能表达人的逻辑思维。两千年来哲学书都是用文字写的。比如最著名的三段论:所有人都是要死的苏格拉底是人所以苏格拉底是要死的。乔治middot布尔认为这种推理可以用数学表达也就是说哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。二、集合论乔治middot布尔发明的工具叫做集合论(Settheory)。他认为逻辑思维的基础是一个个集合(Set)每一个命题表达的都是集合之间的关系。比如所有人类组成一个集合R所有会死的东西组成一个集合D。所有人都是要死的集合论的写法就是:RXD=R集合之间最基本的关系是并集和交集。乘号(X)表示交集加号()表示并集。上面这个式子的意思是R与D的交集就是R。同样的苏格拉底也是一个集合S这个集合里面只有苏格拉底一个成员。苏格拉底是人等同于SXR=S上面式子的意思是苏格拉底与人类的交集就是苏格拉底。将第一个式子代入第二个式子就得到了结论。SX(RXD)=(SXR)XD=SXD=S这个式子的意思是苏格拉底与会死的东西的交集就是苏格拉底即苏格拉底也属于会死的东西。三、集合的运算法则前面的三段论比较容易一眼就能看出结论。但是有些三段轮比较复杂不容易立即反应过来。请看下面这两句话。鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。你能一眼得到结论吗?鸭嘴兽X卵生=鸭嘴兽鸭嘴兽x澳洲=鸭嘴兽将第一个式子代入第二个就会得到:鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽相当于卵生x澳洲=鸭嘴兽其他因此结论就是有的卵生动物是澳洲的动物或者有的澳洲的动物是卵生动物。还有更不直观的三段论。哲学家都是有逻辑头脑的一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。请问结论是什么?这道题会用到新的概念:全集和空集。集合A和所有不属于它的元素(记作A)构成全集(I)这时A和A的交集就是一个空集()。A(A)=IAX(A)=因此有下面的公式。B=BXI=BX(AA)=BXABX(A)回到上面那道题。哲学家X逻辑=哲学家无逻辑X顽固=无逻辑根据第一个命题可以得到下面的结论。哲学家X无逻辑=(哲学家X逻辑)X无逻辑=哲学家X(逻辑X无逻辑)=哲学家X=即哲学家与没有逻辑的人的交集是一个空集。根据第二个命题可以得到下面的结论。无逻辑X顽固=无逻辑X顽固X(哲学家非哲学家)=无逻辑X顽固X哲学家无逻辑X顽固X非哲学家=X顽固无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑也就是说最终的结论如下。无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑相当于顽固X非哲学家=无逻辑其他结论就是顽固的人与非哲学家之间有交集。通俗的表达就是:一些顽固的人不是哲学家或者一些不是哲学家的人很顽固。由此可见集合论可以帮助我们得到直觉无法得到的结论保证推理过程正确比文字推导更可靠。四、集合论到布尔代数既然命题可以用集合论表达那么逻辑推导无非就是一系列集合运算。由于集合运算的结果还是集合那么通过判断个体是否属于指定集合就可以计算命题的真伪。一名顾客走进宠物店对店员说:我想要一只公猫白色或黄色均可或者一只母猫除了白色其他颜色均可或者只要是黑猫我也要。这名顾客的要求用集合论表达就是下面的式子。公猫X(白色黄色)母猫X非白色黑猫店员拿出一只灰色的公猫请问是否满足要求?布尔代数规定个体属于某个集合用表示不属于就用表示。灰色的公猫属于公猫集合就是不属于白色集合就是。上面的表达式变成下面这样。X()X=因此就得到结论灰色的公猫不满足要求。这就是布尔代数:计算命题真伪的数学方法。五、布尔代数的运算法则布尔代数的运算法则与集合论很像。交集的运算法则如下。X=X=X=并集的运算法则如下。===集合论可以描述逻辑推理过程布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人类的推理和判断因此就变成了数学运算。世纪初英国科学家香农指出布尔代数可以用来描述电路或者说电路可以模拟布尔代数。于是人类的推理和判断就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。六、布尔代数的局限虽然布尔代数可以判断命题真伪但是无法取代人类的理性思维。原因是它有一个局限。它必须依据一个或几个已经明确知道真伪的命题才能做出判断。比如只有知道所有人都会死这个命题是真的才能得出结论苏格拉底会死。布尔代数只能保证推理过程正确无法保证推理所依据的前提是否正确。如果前提是错的正确的推理也会得到错误的结果。而前提的真伪要由科学实验和观察来决定布尔代数无能为力。(完)

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