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示范教案(2.1 指数函数及其性质 第3课时)

示范教案(2

wu少华wu
2019-01-23 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《示范教案(2doc》,可适用于高中教育领域

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第课时 指数函数及其性质()导入新课思路我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=x,②y=x,③y=x的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=axm(a>,m∈R)有着怎样的关系呢在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢这是我们本堂课研究的内容教师点出课题:指数函数及其性质()思路我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题指数函数及其性质()推进新课新知探究提出问题()指数函数有哪些性质()利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些()对复合函数,如何证明函数的单调性()如何判断函数的奇偶性,有哪些方法活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容讨论结果:()指数函数的图象和性质一般地,指数函数y=ax在底数a>及<a<这两种情况下的图象和性质如下表所示: a><a<图象图象特征图象特征图象分布在一、二象限,与y轴相交,落在x轴的上方都过点(,)第一象限的点的纵坐标都大于第二象限的点的纵坐标都大于且小于第一象限的点的纵坐标都大于且小于第二象限的点的纵坐标都大于从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性质()定义域:R()值域:(,∞)()过定点(,),即x=时,y=()x>时,y>x<时,<y<()x>时,<y<x<时,y>()在R上是增函数()在R上是减函数   ()依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是:①取值即设x、x是该区间内的任意两个值且x<x②作差变形即求f(x)-f(x),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形③定号根据给定的区间和x-x的符号确定f(x)-f(x)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论④判断根据单调性定义作出结论()对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数又简称为口诀“同增异减”()判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(x)的关系,最后确定函数的奇偶性二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性应用示例思路例在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=x的图象的关系()y=x与y=x()y=x与y=x活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(,)点,或用计算机作图解:()列出函数数据表作出图象如图x  x  x  x            图比较可知函数y=x、y=x与y=x的图象的关系为:将指数函数y=x的图象向左平行移动个单位长度,就得到函数y=x的图象将指数函数y=x的图象向左平行移动个单位长度,就得到函数y=x的图象()列出函数数据表作出图象如图x  x  x  x            图比较可知函数y=x、y=x与y=x的图象的关系为:将指数函数y=x的图象向右平行移动个单位长度,就得到函数y=x的图象将指数函数y=x的图象向右平行移动个单位长度,就得到函数y=x的图象点评:类似地,我们得到y=ax与y=axm(a>,a≠,m∈R)之间的关系:y=axm(a>,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来当m>时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=axm的图象当m<时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=axm的图象上述规律也简称为“左加右减”变式训练为了得到函数y=x的图象,只需把函数y=x的图象(  )A向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度B向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度C向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度D向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度答案:B点评:对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出例已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数()求a,b的值()若对任意的t∈R,不等式f(tt)f(tk)<恒成立,求k的取值范围活动:学生审题,考虑解题思路求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,()从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f()=,f()=f(),()在()的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化()解:因为f(x)是奇函数,所以f()=,即=b=,所以f(x)=又由f()=f()知=a=()解法一:由()知f(x)==,易知f(x)在(∞,∞)上为减函数又因f(x)是奇函数,从而不等式:f(tt)f(tk)<,等价于f(tt)<f(tk)=f(kt),因f(x)为减函数,由上式推得:tt>kt,即对一切t∈R有ttk>,从而判别式Δ=k<,∴k<解法二:由()知f(x)=又由题设条件得<,即<整理得>,因底数>,故ttk>,上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=k<,即k<点评:记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数思路例设a>,f(x)=在R上满足f(x)=f(x)()求a的值()证明f(x)在(,∞)上是增函数活动:学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导()求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(x)=f(x)可建立方程()证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式()解:依题意,对一切x∈R有f(x)=f(x)成立,即aex=所以=对一切x∈R成立由此可得=,即a=又因为a>,所以a=()证明:设<x<x,f(x)f(x)===·由x>,x>,xx>,得xx>,>,<,所以f(x)f(x)<,即f(x)在(,∞)上是增函数点评:在已知等式f(x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观例已知函数f(x)=x,且x=a时,f(x)=,g(x)=的定义域为[,]()求g(x)的解析式()求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明()求g(x)的值域解:()因为f(x)=x,且x=a时f(x)=,所以f(a)=a=所以a=所以g(x)=axx=(a)xx所以g(x)=xx()因为函数g(x)的定义域为[,],令t=x,因为x∈[,]时,函数t=x在区间[,]上单调递增,所以t∈[,],则g(t)=tt=(tt)=(t),t∈[,]因为函数t=x在区间[,]上单调递增,函数g(t)=tt在t∈[,]上单调递减,所以函数g(x)在区间[,]上单调递减证明:设x和x是区间[,]上任意两个值,且x<x,g(x)g(x)===,因为≤x≤x≤,所以,且≤<,<≤所以<<所以<<,可知<所以g(x)<g(x)所以函数g(x)在区间[,]上单调递减()因为函数g(x)在区间[,]上单调递减,所以x∈[,]时,有g()≤g(x)<g()因为g()==,g()==,所以≤g(x)≤故函数g(x)的值域为[,]点评:此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑知能训练求函数y=()|x||x|的单调区间活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答解:由题意可知与是区间的分界点当x<时,因为y=()xx=()x=x=x,所以此时函数为增函数当≤x<时,因为y=()xx=()x=x=()x,所以此时函数为减函数当x≥时,因为y=()xx=()x=x=()x,所以此时函数为减函数当x∈[,),x∈[,∞)时,因为()x()x=继续阅读

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